SISTEMAS LINEARES REGRA DE CRAMER EXERCICIOS RESOLVIDOS 2X2 3X3 4X4

Exercícios resolvidos através da REGRA DE CRAMER para:


sistemas lineares 2x2
sistemas lineares 3x3
sistemas lineares 4x4

Vamos resolver esse sistema linear 2x2 usando a regra de cramer:

{2x+3y=3x+4y=5




Primeiramente vamos colocar os coeficientes que acompanham as incógnitas em uma matriz;

M=[2134]

det(M)=2.4−3.1=5

E agora vamos criar a matriz Mx e My  e calcular os seus respectivos determinantes:

My=[2135]


det(My)=2.5−3.3=1

Mx=[3534]


det(Mx)=3.4−5.3=−3

x=det(Mx)det(M)=−35

y=det(My)det(M)=15



Agora vamos resolver um sistema linear 3x3 usando a REGRA DE CRAMER:

⎧⎩⎨x+2y+z=02x+0+5z=0−x+2y+0=4


Então:


M=⎡⎣⎢12−1202150⎤⎦⎥


e det(M)=−16

Mx=⎡⎣⎢004202150⎤⎦⎥


det(Mx)=40

My=⎡⎣⎢12−1004150⎤⎦⎥


det(My)=−12

Mz=⎡⎣⎢12−1202004⎤⎦⎥


det(Mz)=−16

x=det(Mx)det(M)=40−16=−52

y=det(My)det(M)=−12−16=34

z=det(Mz)det(M)=−16−16=1

Agora vamos resolver um sistema linear 4x4 usando a REGRA DE CRAMER:

Vale lembrar que para calcular um determinante de uma matriz 4x4 iriamos precisar resolver 4 determinantes 3x3, e como precisamos encontrar os valores de x,y,z,w precisamos resolver 5 determinantes de ordem 4, e por consequência resolver 20 determinantes 3x3. Ou seja, para sistemas maiores de 3x3 o método de Cramer se torna muito trabalhoso, só nos convém utilizar em matriz com alguma coluna com bastantes zeros, por exemplo:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪0+y+z+w=02x+0+5z+2w=00+2y+z+3w=40+3y−z+w=1




Então:


M=⎡⎣⎢⎢⎢02001023151−11231⎤⎦⎥⎥⎥

A primeira coluna tem muitos zeros, então se usarmos a REGRA DE CRAMER não teremos muito
trabalho:
Para calcular o determinante de uma matriz 4x4 usamos o método de Laplace

det(M)=∣∣∣∣∣∣02001023151−11231∣∣∣∣∣∣=−2.∣∣∣∣12311−1131∣∣∣∣=−12



 My=⎡⎣⎢⎢⎢02000041151−11231⎤⎦⎥⎥⎥

det(My)=∣∣∣∣∣∣02000041151−11231∣∣∣∣∣∣=−2.∣∣∣∣04111−1131∣∣∣∣=12


Mz=⎡⎣⎢⎢⎢0200102300411231⎤⎦⎥⎥⎥

det(Mz)=Mz=∣∣∣∣∣∣0200102300411231∣∣∣∣∣∣=−2∣∣∣∣013141031∣∣∣∣=18



Mw=⎡⎣⎢⎢⎢02001023151−10041⎤⎦⎥⎥⎥

det(Mw)=∣∣∣∣∣∣02001023151−10041∣∣∣∣∣∣=−2∣∣∣∣12311−1041∣∣∣∣=−30



y=det(My)det(M)=12−12=−1
z=det(Mz)det(M)=18−12=−32
w=det(Mw)det(M)=−30−12=52

E agora pegamos a equação que envolva a variável x da matriz M e achamos o valor de x:


2x+0+5z+2w=0
2x−532+252=0
2x−152+102=0
2x=52
x=54