quinta-feira, 6 de setembro de 2018

Exercícios sobre função exponencial

1) (Vunesp) - Uma certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei , em que K é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de K e de a.


Resolução:

A função exponencial  passa pelos pontos (a, 512) e (0, 2048).
Substituindo esses pontos na função, temos:

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2) (PUC/MG - adaptada) - O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10 horas o número de bactérias será:

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Resolução:

No tempo t = 0, o número de bactérias é igual a 8.
No tempo t = 1, o número de bactérias é dado por 8.2 = 16.
No tempo t = 2, o número de bactérias é dado por 8.2.2 = 32.
Assim, no tempo t = x, o número de bactérias é dada por .
Logo, no tempo desejado, ou seja, ao fim de 10 horas, o número de bactérias será de .

Resposta: E.

3) (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.

Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v0

v0 = 12 000 * 4

v0 = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

4) (EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.

Temos a seguinte função exponencial:

P(x) = P0 * (1 + i)t

P(x) = 500 * (1 + 0,03)20

P(x) = 500 * 1,0320

P(x) = 500 * 1,80

P(x) = 900


O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.


5)  (Fatec-SP - Adaptada) Suponhamos que a população de uma certa cidade seja estimada, para daqui a x anos, por  . Determine a população referente ao terceiro ano.


  A população referente ao 3º ano é de 19.875 habitantes.

6)  Qual o domínio da função exponencial  y = 2x ?


Resolução:

Sabemos que o domínio de uma função y = f(x) é o conjunto de valores que podem ser atribuídos a x. Observe que x sendo um expoente, ele poderá assumir qualquer valor e, portanto, o domínio da função dada é o conjunto dos números reais, ou seja: 
D = R.
7) Dada a função exponencial, calcule o valor de m que a torne decrescente.

Resolução:

Para que a função   seja decrescente os possíveis valores de m deve respeitar a seguinte condição: 5 < m < 5,5. Portanto:
S = {m Є R / 5 < m < 5,5}

8) Na função exponencial a seguir calcule o valor de k, considerando uma função crescente.
 
Resolução:

A condição para que uma função exponencial seja crescente é considerar a base do expoente x maior que 1.
12 – 2k > 1
12 > 2k
k < 6
A função exponencial f(x) = (12 – 2k)x é crescente quando k < 6.

9)  (Unicamp, 2011) Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva abaixo representa a função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que



a) M(t) = 24−t/75
b) M(t) = 24−t/50
c) M(t) = 25−t/50
d) M(t) = 25−t/150

Resolução

  • Para o ponto (0,16), temos:
M(0) = 16 = 24
  • Para o ponto (150,4), temos:
M(150) = 4 = 22 = M(0).2k = 24.2k = 24 + k = 24 - 2 = 24 - 150/75 

M(t) = 24 - t/75


10) (PUCC-SP) Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r jm a partir do seu centro é dado por P(r) = k * 23r, em que k é constante e r > 0. Se há 98 304 habitantes num raio de 5 km do centro, quantos habitantes há num raio de 3 km do centro?

Resolução:

P(r) = k * 23r
98 304 = k * 2 3*5
98 304 = k * 215
98 304 = k * 32 768
k =98 304 / 32 768
k = 3
Calculando o número de habitantes num raio de  3 km
P (r) = k * 23r
P (3) = 3 * 23*3
P (3) = 3 * 29
P (3) = 3 * 512
P(3) = 1536
O número de habitantes num raio de 3 km é igual a 1536.

11) (LUMEN) O maior valor inteiro que devemos atribuir a "p" para que a função f(x) = (11 - p)x seja crescente é: 

a)8 
b)9 
c)7 
d)10 
e)11 

12) (ITA) Considere a função f : Z \ {0} --> R,,x para quais y² + 2y + f(x) = 0 tem raiz dupla é: 

a)Zero 
b)6 
c)2 
d)1 
e)4 

13) (UFPB) O valor de um certo imóvel, em reais, daqui a t anos é dado pela função V(t) = 1000(0,8)t . Daqui a dois anos, esse imóvel sofrerá, em relação ao valor atual, uma desvalorização de: 


a)R$ 800,00 
b)R$ 512,00 
c)R$ 640,00 
d)R$ 360,00 
e)R$ 200,00 

14) As funções y = ax e y = bx com a > 0 e b > 0 e a b têm gráficos que se interceptam em:

a) nenhum ponto;
b) 2 pontos;
c) 4 pontos;
d) 1 ponto;
e) infinitos pontos.

15) (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O gráfico da função real f(x) = x2 - 2:

a) intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0);
b) intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1);
c) intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0);
d) intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2);
e) não intercepta o eixo dos x.



16) (FIC / FACEM) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9)x. O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de:

a) 900
b) 1000
c) 180
d) 810
e) 90

17) (ENEM-2009) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.
Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre
A) 490 e 510 milhões.
B) 550 e 620 milhões.
C) 780 e 800 milhões.
D) 810 e 860 milhões.
E) 870 e 910 milhões.
RESOLUÇÃO:
Veja que o enunciado contém muitas informações que não serão úteis. Vamos focar apenas na pergunta do problema. Precisamos apenas calcular a população com 60 anos ou mais em 2030.
Observe que de 2000 até 2030 terão se passado 30 anos. Agora basta substituir na função y = 363e0,03x.
Portanto o gabarito será letra E.
18) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:
Investimento A: 3% ao mês
Investimento B: 36% ao ano
Investimento C: 18% ao semestre
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:
Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá
A) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%.
B) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%.
C) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.
D) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C.
E) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.
RESOLUÇÃO:
Galera, vamos calcular quanto vai render cada um dos investimentos.
→ Investimento A: Rende  3% ao mês.
100% + 3% =103% = 1,03
Durante 12 meses teremos 1,0312 = 1,426 do valor inicial. (consulte a tabela)
→ Investimento B: Rende  36% ao ano.
100% + 36% =136% = 1,36
Durante 1 ano teremos 1,36 do valor inicial.
→ Investimento C: Rende  18% ao semestre.
100% + 18% =118% = 1,18
Durante 2 semestres teremos 1,182 = 1,3924 do valor inicial
Portanto, o investimento de maior rentabilidade no ano é o  Investimento A. Gabarito letra C.
Gabarito:


          11) B  12) C  13) D  14) D  15) A  16) D

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