Ciências Gerais da Vida

Teorema de pitágoras

O teorema de Pitágoras é umarelação matemática entre os três lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:

“

Em qualquer triângulo retângulo, o quadradodo comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.

”

Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetossão os dois lados que o formam.

O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:

“

Em qualquer triângulo retângulo, a área doquadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.

”

Para ambos os enunciados, pode-seequacionar:

$c^2 = b^2 + a^2\!\,$

onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros dois lados.

O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração,^[1]^[2] embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de quematemáticos babilônicos conheciamalgoritmos para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).^[3] ^[4] ^[5]

O teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, domatemático persa Ghiyath al-Kashi(1380 – 1429), que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de dois lados e a medida de algum dos três ângulos.

Fórmula e corolários

Um triângulo retângulo, de catetos a e b, e de hipotenusa c.

Sendo c o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos outros dois lados, o teorema pode ser expresso como a equação:

$c^2 = b^2 + a^2\,$

Manipulando algebricamente essa equação, chega-se a que se os comprimentos de quaisquer dois lados do triângulo retângulo são conhecidos, o comprimento do terceiro lado pode ser encontrado:

$c=\sqrt{b^2+a^2}$ , $b=\sqrt{c^2-a^2}$ e $a=\sqrt{c^2-b^2}$ .

Outro corolário do teorema é que:

“

Em qualquer triângulo retângulo, a hipotenusa é maior que qualquer um dos catetos, mas menor que a soma deles. ^[6]

”

maior que qualquer um dos catetos pois todos os comprimentos são necessariamente números positivos, e c² > b², logo c > b, e c² > a², logo c > a. E a hipotenusa é menor que a soma dos catetos pois c² = b² + a², e (b+a)² = b² + 2ba + a², logo c² < (b+a)², logo c < b + a.

Demonstrações

O teorema de Pitágoras já teve muitas demonstrações publicadas. O livro The Pythagorean Proposition, de Elisha Scott Loomis, por exemplo, contém 370 demonstrações diferentes.^[7] Há uma demonstração no livro Os Elementos, de Euclides.^[8] E também ofereceram demonstrações, o matemático indiano Bhaskara Akaria, o polímata italiano Leonardo da Vinci, e o vigésimopresidente dos Estados Unidos,James A. Garfield.^[9]^[10]^[11] O teorema de Pitágoras é tanto uma afirmação a respeito de áreas quanto a respeito de comprimentos, algumas provas do teorema são baseadas em uma dessas interpretações, e outras provas são baseadas na outra interpretação.

Por comparação de áreas

Não se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada porPitágoras, entretanto, muitos autores concordam que ela teria sido feita através da comparação de áreas^[^{carece de fontes]}, conforme se segue:

Provável forma usada por Pitágoras para demonstrar o teorema que leva seu nome^[^{carece de fontes]}.

Desenha-se um quadrado de lado $b + a$ ;
Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados doquadrado;
Divide-se cada um destes doisretângulos em dois triângulos retos, traçando as diagonais. Chama-se c o comprimento de cada diagonal;
A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a $b 2 + a 2$ ;
Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado $b + a$ , mas colocamos os quatro triângulos retos noutra posição.
A área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos é igual a $c 2$ .

Como $b 2 + a 2$ representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos retângulos, e $c 2$ representa a mesma área, então $b 2 + a 2 = c 2$ . Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida c foi chamado de hipotenusa e os de medida b e a foram chamados de catetos.

Por semelhança de triângulos

Demonstração que utiliza o conceito de semelhança: os triângulos ABC, ACH e CBH têm a mesma forma, diferindo apenas pelas suas posições e tamanhos.

Esta demonstração se baseia naproporcionalidade dos lados de dois triângulos semelhantes, isto é, que arazão entre quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é a mesma, independentemente do tamanho dos triângulos.

Sendo ABC um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em C, como mostrado na figura. Desenha-se a altura com origem no ponto C, e chama-se H sua intersecção com o lado AB. O ponto H divide o comprimento da hipotenusa, c, nas partes d e e. O novo triângulo, ACH, é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos tem um ângulo reto, e eles compartilham o ângulo em A, significando que o terceiro ângulo é o mesmo em ambos os triângulos também,^[12] marcado como θ na figura. Seguindo-se um raciocínio parecido, percebe-se que o triângulo CBH também é semelhante à ABC. A semelhança dos triângulos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes:

$\frac{a}{c}=\frac{e}{a} \mbox{ e } \frac{b}{c}=\frac{d}{b}.\,$

O primeiro resultado é igual aocosseno de cada ângulo θ e o segundo resultado é igual ao seno.

Estas relações podem ser escritas como:

$a^2=c\times e \mbox{ e }b^2=c\times d. \,$

Somando estas duas igualdades, obtém-se

$a^2+b^2=c\times e+c\times d=c\times(d+e)=c^2 ,\,\!$

que, rearranjada, é o teorema de Pitágoras:

$a^2+b^2=c^2 \ .\,\!$

Demonstração algébrica

Demonstração algébrica.

A análise da figura da direita permite computar a área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo: ela é quatro vezes a área desse triângulo mais a área do quadrado restante, de lado (b−a). Equacionando-se, segue que:

$c^2 = \frac{4ab}{2}\ + (b-a)^2\,\!$

Segue que:

$c^2 = 2ab + b^2 -2ba + a^2\,\!$ (o termo (b-a)² é um produto notável)

$c^2 = b^2 + a^2 \ .$ (porcomutatividade damultiplicação: 2ab = 2ba)

Por cálculo diferencial

Pode-se chegar ao teorema de Pitágoras pelo estudo de como mudanças em um lado produzem mudanças na hipotenusa e usando um pouco de cálculo. É uma demonstração baseada na interpretação métrica do teorema, visto que usa comprimentos, não áreas.

Demonstração que usa equações diferenciais.

Como resultado da mudança da no lado a,

$\frac {da}{dc} = \frac {c}{a}$

por semelhança de triângulos e para mudanças diferenciais. Então,

$c\, dc = a\,da$

por separação de variáveis.

que resulta da adição de um segundo termo para as mudanças no lado b.

Pela integração, segue:

$c^2 = a^2 + \mathrm{constante}.\ \,\!$

Quando a = 0 então c = b, então a "constante" é b². Logo,

$c^2 = a^2 + b^2.\,$

Pelo rearranjo das partes

Demonstração pelo rearranjo de quatro triângulos retângulos idênticos.

Animação mostrando outra demonstração por rearranjo.^[13]

Uma demonstração por rearranjo é dada pela animação à esquerda. Como a área total e as áreas dos triângulos são constantes, a área preta total é constante também. E a área preta pode ser dividida em quadrados delineados pelos lados a, b, c do triângulo, demonstrando quea² + b² = c².

Na animação à direita, um grande quadrado inicial é formado da área c ² tornando adjacentes quatro triângulos retângulos idênticos, deixando um pequeno quadrado no centro do grande quadrado, de modo a acomodar a diferença de comprimentos dos lados dos triângulos. Dois retângulos são formados, de lados a e b, movendo-se os triângulos. Incorporando o pequeno quadrado central com um destes retângulos, os dois retângulos são feitos em dois quadrados de áreas a ² e b ², mostrando que c ² = a ² + b ².

Recíproca

Por favor, melhore este artigo ou secção, expandindo-o(a). Mais informações podem ser encontradas napágina de discussão ou emartigos a aprofundar. Considere também a possibilidade de traduzir o texto das interwikis.

A recíproca do teorema de Pitágoras também é verdadeira^[14]:

"Para qualquer triângulo com lados l, m, e r, se l² + m² = r², então o ângulo entre l e m mede 90°".

ou, usando apenas palavras,

“

Se num triângulo o quadrado em um dos lados for igual à soma dos quadrados construídos sobre os dois lados restantes do triângulo, o ângulo formado pelos dois lados restantes do triângulo é um ângulo reto.

”

Ela pode ser provada usando-se a lei dos cossenos.

Consequências e usos

Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada emmatemática como o teorema de Pitágoras. Ao longo dos séculos foram sendo registrados muitos problemas curiosos, cujas resoluções têm como base este famoso teorema ^[^{carece de fontes]}. É possível utilizar o teorema de Pitágoras em todos os polígonos, pois eles podem ser divididos emtriângulos e esses em triângulos retângulos. E por extensão, a todos os poliedros.

[editar] A diagonal do quadrado

A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retânguloscongruentes. Sendo $l \,\!$ o lado e $d \,\!$ a diagonal, segue que:

$d^2=l^2+l^2=2\,l^2\,\!$

Finalmente, o comprimento da diagonal é encontrado como:

$d =\sqrt{2\,l^2}=l \sqrt{2}\,\!.$

A altura do triângulo equilátero

A altura do triângulo equiláterodivide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo $l \,\!$ o lado e $h \,\!$ a altura, segue que:

$l^2=h^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2=h^2+\frac{l^2}{4}\,\!$

$h^2=\frac{3\,l^2}{4}\,\! \ .$

Finalmente, a altura do triângulo equilátero é encontrado como:

$h= \sqrt{\frac{3\,l^2}{4}}= \frac{l\sqrt3}{2}\,\! \ .$

Identidade trigonométrica fundamental

Ver artigo principal:Identidade trigonométrica fundamental

$\sin \theta = \frac{b}{c}, \quad \cos \theta = \frac{a}{c}.$

Disso, segue que:

${\cos}^2 \theta + {\sin}^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1,$

Ternos pitagóricos

Ver artigo principal: Terno pitagórico

Um terno pitagórico (trio pitagórico) consiste em três números inteiros positivos a, b, e c, tais que a ² + b ² = c ². Em outras palavras, um terno pitagórico representa os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, onde todos os três lados têm comprimentos inteiros. Essa tripla é geralmente escrita como (a, b, c ).Alguns exemplos bem conhecidos são (3, 4, 5) e (5, 12, 13).

Um terno pitagórico primitivo é aquele em que a, b e c são coprimos(o máximo divisor comum de a, b e c é 1).

Lista de ternos pitagóricos primitivos até 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Uma das consequências do teorema de Pitágoras é que comprimentosincomensuráveis (ou seja, cujarazão é um número irracional, tal como a raiz quadrada de 2), podem ser construídos, com instrumentos como régua e compasso. Um triângulo retângulo com ambos os catetos iguais a uma unidade tem uma hipotenusa de comprimentoigual a raiz quadrada de 2. A figura da direita mostra como construir segmentos de reta com comprimentos iguais a raiz quadrada de qualquer número inteiro positivo.

Distância entre dois pontos

Ver artigo principal:Geometria analítica

Seja $A = (x 1,y 1)$ e $B = (x 2,y 2)$ . Para auxiliar, seja $C = (x 2,y 1)$ .

Como A e C possuem mesmaordenada, $d(A,C)=\left|x_1-x_2 \right|$ .

Como B e C possuem mesma abcissa, $d(B,C)=\left| y_1-y_2 \right|$

Então $d(A,B)=\sqrt[]{d(A,C)^2+d(B,C)^2}=\sqrt[]{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Generalizações

Lei dos cossenos

Ver artigo principal: Lei dos cossenos

O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo retângulo conhecendo os outros dois. A lei dos cossenos permite calculá-lo em qualquer triângulo. Assim, o teorema de Pitágoras é um caso especial do teorema mais geral que relaciona o comprimento dos lados de qualquer triângulo, a lei dos cossenos é a seguinte:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\theta}, \,$

onde θ é o ângulo entre os lados a e b.

Quando θ é 90 graus, cos(θ) = 0, assim, a fórmula reduz-se ao teorema de Pitágoras.

Teorema de Gua

Ver artigo principal:Teorema de Gua

O teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um n-simplex retângulo: o quadrado do (n-1)-volume da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num tetraedro retângulo (isto é, que tem 3 faces perpendiculares entre si - os catetos), o quadrado da área da hipotenusa (a face que não é perpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos catetos.

Figuras semelhantes nos três lados

O teorema de Pitágoras foi generalizado por Euclides em seu livro Os Elementos para estender-se além das áreas dos quadrados nos três lados, para figuras semelhantes:^[15]

“

Erguendo-se figuras semelhantes nos lados de um triângulo retângulo, então a soma das áreas das duas menores é igual à área da maior.

”

Na geometria esférica e hiperbólica

Um triângulo esférico

Um triângulo hiperbólico

O teorema de Pitágoras é derivado dos axiomas da geometria euclidiana, e de fato, a versão euclidiana não é válida nasgeometrias não euclidianas. (Foi mostrado que o teorema de Pitágoras é equivalente aopostulado das paralelas) Em outras palavras, numa geometria não euclidiana, a relação entre os lados de um triângulo deve necessariamente tomar outra forma. Por exemplo, na geometria esférica, a² + b² ≠ c².

Seja c a hipotenusa de um triângulo rectângulo numa geometria não euclidiana e a e b os catetos. O teorema de Pitágoras toma uma das seguintes formas:

na geometria esférica, tem-se

$\cos(c)=\cos(a)\cos(b)\,\!$

na geometria hiperbólicatem-se

$\cosh(c)=\cosh(a)\cosh(b)\,\!$