Demonstração do Teorema de Heron

A fórmula tradicional de cálculo da área do triângulo, ensinada e muito utilizada no ensino fundamental é . Entretanto, outras fórmulas foram desenvolvidas para realizar este cálculo. Uma delas é a fórmula de Herão (ou de Heron), que dá a área do triângulo em função da medida dos três lados do triângulo. O nome faz referência ao matemático grego Herão de Alexandria.

Primeiro, encontramos o cosseno do ângulo c. Para isso, aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo ABM para encontrar o comprimento de BM:







Assim,



Agora, utilizando o triângulo ABC, aplicamos a lei dos cossenos relativa ao ângulo c:







Logo,



Assim,



Substituindo (I) em (II), temos:









Aplicando a diferença de dois quadrados:







Novamente pela diferença entre quadrados:











Como , tal que s é o semiperímetro (metade do perímetro), vem:



E por fim,